Parcial3

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Asignatura de CALCULO

 

Proposito de la asignatura: Que el estudiante relacione conocimientos de diversas disciplinas (sistemas y reglas o principios medulares) para estructurar ideas, argumentos y crear modelos que den solución a problemas surgidos de la actividad humana, tales como: la distribución inequitativa de los recursos económicos y la propagación rápida de enfermedades, entre otros; así como de fenómenos naturales (cambio climático, contaminación por emisión de gases, etc.), aplicando el razonamiento, el análisis e interpretación de procesos infinitos que involucren razones de cambio. Ademas que el estudiante analice e interprete las relaciones entre las variables de problemas de la vida cotidiana relacionados con áreas, volúmenes, etc., que impliquen variaciones en procesos infinitos y los resuelva aplicando el teorema fundamental del cálculo.

Relacion de calculo con otras  asignaturas: el calculo apoya a la todas las demas materias por su comprension y estructura de textos, construccion de modelos matematicos en muchas ciencias, en la traduccion de problemas matematicos a otras lenguas, modelos que representen el desarrollo sustentable, y su aplicacion para representar fenomenos naturales y su aplicacion en las computadoras y sus programas.

 

Competencias propuestas para desarrollar en el estudiante para la materia de calculo: 

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos,  geométricos y variaciones, para la comprensión y análisis de situaciones reales,  hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variaciones, mediante lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las  propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos

 Estructura conceptual de la materia de Calculo:

 

 

Historia del calculo

   

El término "cálculo" procede del latín calculus, piedrecita que se mete en el calzado y que produce molestia. Precisamente tales piedrecitas ensartadas en tiras constituían el ábaco romano que, junto con el suanpan chino, constituyen las primeras máquinas de calcular en el sentido de contar.
Los antecedentes de procedimiento de cálculo, como algoritmo, se encuentran en los que utilizaron los geómetras griegos, Eudoxo en particular, en el sentido de llegar por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una medida de figuras curvas; así como Diofanto precursor del álgebra.

 

Calculo siglos XVII y XVIII

En el siglo XVII el cálculo conoció un enorme desarrollo siendo los autores más destacados Descartes, Pascal y, finalmente, Leibniz y Newton con el cálculo infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorción, el nombre de cálculo.
El concepto de cálculo formal en el sentido de algoritmo reglado para el desarrollo de un razonamiento y su aplicación al mundo de lo real adquiere una importancia y desarrollo enorme respondiendo a una necesidad de establecer relaciones matemáticas entre diversas medidas, esencial para el progreso de la ciencia física que, debido a esto, es tomada como nuevo modelo de Ciencia frente a la especulación tradicional filosófica, por el rigor y seguridad que ofrece el cálculo matemático. Cambia así el sentido tradicional de la Física como filosofía de la naturaleza y toma el sentido de ciencia que estudia los cuerpos materiales, en cuanto materiales.

 

 Calculo siglos XIX y XX

Durante el siglo XIX y XX el desarrollo científico y la creación de modelos teóricos fundados en sistemas de cálculo aplicables tanto en mecánica como en electromagnetismo y radioactividad, etc. así como en astronomía fue impresionante. Las geometrías no euclidianas encuentran aplicación en modelos teóricos de astronomía y física. El mundo deja de ser un conjunto de infinitas partículas que se mueven en un espacio-tiempo absoluto y se convierte en un espacio de configuración o espacio de fases de  dimensiones que físicamente se hacen consistentes en la teoría de la relatividad, la mecánica cuántica, la teoría de cuerdas etc. que cambia por completo la imagen del mundo físico.

Mediante el cálculo la lógica encuentra nuevos desarrollos como lógicas modales y lógicas polivalentes.
Los intentos de axiomatizar el cálculo como cálculo perfecto por parte de Hilbert y Poincaré, llevaron, como consecuencia de diversas paradojas (Cantor, Russell etc.) a nuevos intentos de axiomatización, Axiomas de Zermelo-Fraenkel y a la demostración de Gödel de la imposibilidad de un sistema de cálculo perfecto: consistente, decidible y completo en 1931, de grandes implicaciones lógicas, matemáticas y científicas.

 

Calculo en la actualidad

En la actualidad, el cálculo en su sentido más general, en tanto que cálculo lógico interpretado matemáticamente como sistema binario, y físicamente hecho material mediante la lógica de circuitos electrónicos, ha adquirido una dimensión y desarrollo impresionante por la potencia de cálculo conseguida por los ordenadores, propiamente máquinas computadoras. La capacidad y velocidad de cálculo de estas máquinas hace lo que humanamente sería imposible: millones de operaciones por segundo.
El cálculo así utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la investigación científica por las posibilidades que ofrece para la modelización de las teorías científicas, adquiriendo especial relevancia en ello el cálculo numérico.

 

Algunos matematicos destacados por haber realizado trabajos importantes relacionados con el calculo son:

Pierre Fermat (1601-1665), matemático francés, quien en su obra habla de los métodos diseñados para determinar los máximos y mínimos, acercándose casi al descubrimiento del Cálculo Diferencial, mucho antes que Newton y Leibniz. Dicha obra influenció en Leibniz en la invención del Cálculo Diferencial.

Johannes Kepler, tiempo después, coincide con lo establecido por Oresme, conceptos que permitieron a Fermat en su estudio de máximos y mínimos, las tangentes y las cuadraturas, igualar a cero la derivada de la función, debido a que la tangente a la curva  en los puntos en que la función tiene su máximo o mínimo, es decir, la función es paralela al eje donde la pendiente de la tangente es nula. X

Isaac Barrow (Londres, 1630 - id., 4 de mayo,1677), maestro de Newton, construyó el “triángulo característico”, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los extremos del arco.

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), quien demostró por primera vez el Teorema del Valor Medio.

Augustin-Louis Cauchy (París, 21 de agosto de 1789- Sceaux, 23 de mayo de 1857), matemático francés, impulsor del Cálculo Diferencial e Integral, autor de La Teoría de las Funciones de las Variables Complejas, se basó en el método de los límites; las definiciones de “función de función” y la de “función compuesta” se deben a él. El concepto de función continua fue introducido por primera vez por él en 1821.

Leonhard Euler (1707-1783). La simbología se debe a él, quien además de hacer importantes contribuciones a casi todas las ramas de las matemáticas, fue uno de los primeros en aplicar el cálculo a problemas de la vida real en la Física. Sus extensos escritos publicados incluyen temas como construcción de barcos, acústica, óptica, astronomía, mecánica y magnetismo.

John Wallis (Ashford, 23 de noviembre de 1616 – Oxford, 28 de octubre de 1703), enuncia el concepto de “límite”.

La representación simbólica “lím” se debe a Simón Lhuilier (n. Ginebra, Suiza el 24 de abril de 1750, f. en Ginebra el 28 de marzo de 1840).

El símbolo “tiende a” lo propuso J. G. Leathem.

Programa para la asignatura de cálculo

 

1.-Funciones

-Dominio y contra dominio

-Clasificación de funciones    

-Comportamiento de las funciones 

2.-Limite

-Límite de una función

-Propiedades          

-Continuidad de una función

3.-Derivada

-Derivación de funciones trigonometricas

-Derivadas sucesivas

-Comportamiento

4.-Diferencial

-Aproximaciones

-Anti derivada

5.-Metodos de integración

-Inmediatas

-Integración por partes

-Integración por sustitución

-Integración por fracciones parciales

1-Funciones

-Dominio y contra dominio

El DOMINIO de una función es el conjunto de todos los valores de entrada que al aplicar la función llevan a un valor de salida.                                                                                                                                                Esto automáticamente nos lleva a meditaciones con respecto a las funciones que queremos estudiar.

El CONTRA DOMINIO es el conjunto de todos los valores resultantes de la variable “Y”. Otros nombres para este son: recorrido (es poco usado), ámbito (termino muy reciente), imagen (muy utilizado en algebra y teoría de conjuntos) y rango (es muy utilizado en el cálculo)

 

-Clasificación de funciones

Funciones explícita e implícita

Una función puede venir dada en forma explícita o en forma implícita. 

Que permite calcular directamente el valor de y dado el valor de x. Por el contrario una función está en forma implícita si la variable dependiente no está explicitada respecto a la variable independiente .

Niels Henrik Abel demostró en 1824, que una función algebraica de grado superior a 4 no puede explicitarse, por eso las funciones implícitas son aquellas que no pueden ser expresadas de forma explícita.

Funciones algebraicas

Las funciones algebraicas incluyen a las:

Funciones polinómicas que son las funciones P(x), donde P es un polinomio en x, es decir una combinación finita de sumas y productos entre escalares (números) y la variable x. Usualmente, los escalares son números reales, pero en ciertos contextos, los coeficientes pueden ser elementos de un campo o un anillo arbitrario (por ejemplo, fracciones, o números complejos)

Como casos particulares de funciones polinómicas se tienen:

Función constante: f(x)= a

Función lineal: f(x)= ax + b es un binomio del primer grado.

Función cuadrática: F(x)= ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado.

Funciones racionales que son cocientes entre dos polinomios, estas funciones se obtienen al dividir una función polinomial por otra, no idénticamente nula.

Funciones elementales básicas trascendentes

Las funciones elementales básicas trascendentes son un conjunto finito de funciones que son usadas en todas las áreas de las matemáticas, física e ingeniería. Estas abarcan:

Las Funciones trigonométricas: Seno, coseno, tangente; secante, cosecante, cotangente.

1. Las funciones trigonométricas inversas: seno inverso, coseno inverso, tangente inversa, cotangente inversa, secante inversa y cosecante inversa.
2. Las Funciones hiperbólicas: seno hiperbólico, coseno hiperbólico, tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante hiperbólica y cosecante hiperbólica.
3. Las funciones hiperbólicas inversas: seno hiperbólico inverso, coseno hiperbólico inverso, tangente hiperbólico inverso, cotangente hiperbólico inverso, secante hiperbólica inversa y cosecante hiperbólica inversa;
4. La Función logarítmica
5. La inversa del logaritmo, que correspondería a la Función exponencial.

-Comportamiento de las funciones  

   

Una gráfica es creciente si al aumentar  la variable independiente aumenta la otra variable.

Una gráfica es decreciente si al aumentar la variable independiente disminuye la otra variable.

Una gráfica es constante si al variar la variable independiente la otra permanece invariable.

Una gráfica puede tener a la vez partes crecientes y decrecientes.

2.-Limite

-Límite de una función

El límite de una función de variable real es un concepto fundamental del análisis matemático aplicado a las funciones.

Intuitivamente, el hecho que una función f alcance un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente próximos a c, sin importar el valor que pudiera adquirir f en el punto c.

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ.

-Propiedades

Cualidades de los objetos matematicos, estudiadas por las distintas ramas de las matematicas. Las propiedades matematicas se pueden clasificar en distintos grupos de acuerdo con diversos criterios. Segun los objetos que pueden distinguir entre las mas basicas y generales, las propiedades de las relaciones binarias sobre los conjuntos, las propiedades de las operaciones, etc.

Un claro ejemplo de propiedad es la propiedad conmutativa la cual estipula que si en una suma se cambian el orden de los factores el resultado no cambiara, se mantendra igual. Un ejemplo de esta propiedad es: 1+9+48+6=64 y si se cambia el orden de los datos 48+6+9+1=64 se mantiene igual el resultado.

Propiedad asosiativa piensa que asosiar es unir, o sea, que si en una suma de tres unimos los numeros, dos de un lado y uno del otro dara el mismo resultado.
Ejemplo: 1+2+3=6 es (1+2)+3=6 y 1+(2+3)=6.



-Continuidad de una funcion

 En matematicas, una funcion continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la funcion; aunque en rigor, en un espacio metrico como la variable real, significa lo contrario.
Una funcion continua de R en R es aquella cuya grafica puede dibujarse sin levantar el lapiz del papel.

La continuidad de una funcion es uno de los conceptos principales de analisis matematica y de la topologia. El articulo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.

3.-Derivada

La derivada de una funcion es una medida de rapidez con la que cambia el valor de dicha funcion segun cambie el valor de su variable independiente.

-Derivacion de funciones trigonometricas

La derivacion de funciones trigonometricas es el proceso matematico de encontrar el ritmo al cual una funcion trigonometrica cambia respecto de la variable independiente, es decir, la derivada de la funcion. Las funciones trigonometricas mas habituales son las funciones sen(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x)=sen(x), se esta calculando la funcion f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.


-Derivadas sucesivas

Tanto en el estudio del cálculo como en otras ramas del conocimiento, principalmente la física y la ingeniería, aparecen con frecuencia derivadas de orden mayor a uno, conocidas con el nombre de derivadas sucesivas o derivadas de orden superior. De manera general, la derivada de una función, sigue siendo función de la misma variable independiente x. Esto nos permite, hallar la derivada de la primera derivada, o, como también se le llama, segunda derivada; a su vez, la segunda derivada también puede ser función de x, por lo cual, podemos hallar la derivada de la segunda derivada, también llamada tercera derivada, y así sucesivamente.

-Comportamiento

Si conocemos la función derivada, el problema de la determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función se reduce al estudio del signo de su función derivada. Los intervalos en los que la función derivada es positiva se corresponden con intervalos en los que la función primitiva es creciente. Los intervalos en que la función derivada es negativa se corresponden con intervalos en los que la función primitiva es decreciente. 
Cuando la derivada en un punto es cero la tangente a la función en dicho punto es horizontal. Pero la tangente puede ser horizontal por diferentes motivos, por lo que interpretar una derivada nula resulta un poco más complejo que cuando es positiva o negativa. Así, puede ocurrir que estemos ante un máximo relativo o un mínimo relativo, o bien que se trate de un punto de inflexión de tangente horizontal o que simplemente se trate de un punto en el que la función es constante.

4.-Diferencial

-Aproximaciones

Aproximación es una representación inexacta que, sin embargo, es suficientemente fiel como para ser útil. Esta aproximación nunca es utilizada en ciencias exactas a grado profesional debido a la pérdida de información.
Aunque en matemáticas la aproximación típicamente se aplica a números, también puede aplicarse a objetos tales como las funciones matemáticas, figuras geométricas o leyes físicas.
Una aproximación usualmente se realiza cuando una forma exacta o un valor numérico exacto es desconocido o difícil de obtener. Sin embargo, puede conocerse alguna forma, que sea capaz de representar a la forma real, de manera que no se presenten desviaciones significativas. También se utiliza cuando un número es irracional, como el número π, en cuyo lugar muchas veces se emplea el 3.14, √7 como ≈ 2.65. Las aproximaciones numéricas a veces son efecto del uso de una cantidad pequeña de dígitos significativos. La teoría de la aproximación es una rama de las matemáticas, una parte cuantitativa del análisis funcional. La aproximación diofántica se dedica a la aproximación de números reales por medio de números racionales. El símbolo doble tilde "≈"  significa "aproximadamente igual a". La tilde (~) a veces se usa para el problema general de aproximación que se formula en un espacio vectorial normado, a fin de poder emplear la métrica asociada como medida de calidad de la aproximación.



-Antiderivada

La antiderivada es la funcion que resulta del proceso inverso de la derivacion, es decir, consiste en encontrar una funcion que al ser derivada produce la funcion dada. 
Por ejemplo:
si f(x=3x^2, entonces, F(x)=x^3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una derivada unica para cada funcion. Por ejemplo f(x)=x^3+5, enctonces es otra antiderivada de f(x).
La antiderivada tambien se conoce como la primitiva o la integral  indefinida, se expresa de la siguiente manera, en donde, f(x) es el integrando; dx, la variable de integracion o diferencial de x y C es la constante de integracion.


 

5.-Metodos de integración

-Inmediatas

Integrales inmediatas son las que salen directamente por la propia definición de integral, es decir, la que se puede resolver de forma más o menos intuitiva pensando en una función que cuando se derive me dé la que está en la integral.

-Integración por partes

El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

Eligiendo adecuadamente los valores de u y dv, puede simplificarse mucho la resolución de la integral.

Desde un punto de vista didáctico se recomienda escoger la función u de acuerdo con el orden:

1. Trigonométrica Inversa
2. Logarítmica
3. Algebraica o polinómica
4. Trigonométrica
5. Exponencial.

Otra recomendación sería cambiar el orden de trigonométrica y exponencial.

1. Arcoseno(y cualquier trigonométrica inversa)
2. Logarítmica
3. Polinómica
4. Exponencial
5. Seno/coseno(y cualquier trigonométrica) 

-Integracion por sustitucion

El metodo de integracion por sustitucion o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En casos donde las integrales no son triviales se puede llegar a una integral de tabla para encontrar su primitiva. Este metodo realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivacion.



-Integración por fracciones parciales

Usamos el método por fracciones parciales o fracción racional el cual se usa cuando el numerador y denominador son funciones racionales enteras, en otras palabras son funciones en la que la variable no está afectada de exponentes negativos o fraccionarios, en el numerador el grado de la función es igual o mayor al del denominador, en este caso la fracción puede reducirse a una expresión mixta dividiendo el numerador por el denominador. Para poder integrarla es necesario descomponerla en fracciones parciales más simples por la suma algebraica de fracciones en las que nos permitan completar la integración descomponiendo el denominador en factores primos reales.

 

Autoevaluación

1.- Grafica la función y=2

2.- Grafica la función y=x

3.-Grafica la función y=2x

4.-Grafica la función x= -5

Determinar cómo es cada sucesión:

5.- La sucesión (bn) = (5, 4, 3, 3, 2, 1, 0, 0,...)

a) Es monótona decreciente

b) Es monótona creciente

c) Es constante

6.- La sucesión (bn) = (20, 10, 5, 2.5, 1.25,...)

a) Es constante

b) Es monótona decreciente

c) Es monótona creciente

7.- La sucesión an = (2, 4, 3, 5, 4, 6,)

a) Es monótona creciente

b) Es monótona decreciente

c) No es monótona

8.- La sucesión an = (1, 1, 2, 3, 4, 4, 5,...)

a) Es monótona creciente

b) Es monótona decreciente

c) No es monótona

Calcula la derivada de las siguientes funciones:

9.- f(x)=5

a) 0

b) 5

c) No se puede derivar

10. - f(x)=x^2

a) x

b) 0

c) 2x

11.- f(x)=3x+2

a) 3

b) 3x

c) 0

12. - f(x)=3x^3+x^2-x+7

a) 9x^2+2x-1

b) 27x^2+2x-1

c) 0

Calcula la diferencial de las funciones:

13.- f(x)=3x^2+5x-6

a) df(x) = (6x+5) dx

b) df(x) = 6xdx

c) df(x) = 6dx

14.- f(x)=9x

a) df(x) = dx

b) df(x) = xdx

c) df(x) = 9dx

15.-12x^12-4x

a) df(x) = xdx

b) df(x) = 12xdx

c)  df(x) = (144^11-4) dx

16.- 7x-1

a) df(x) = xdx

b) df(x) = 7dx

c) df(x) = dx

Define los siguientes tipos de integrales:

17.- Integración por sustitución 
a) Son las que salen directamente por la defenicion de integral.
b)Resulta al elegir correctamente los valores de u y dv.
c)Se basa en realizar un cambio de variable adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple.
d)Se usa cuando el numerador y denominador son funciones racionales enteras.
    

18.- Integración por partes

a) Son las que salen directamente por la defenicion de integral.
b)Resulta al elegir correctamente los valores de u y dv.
c)Se basa en realizar un cambio de variable adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple.
d)Se usa cuando el numerador y denominador son funciones racionales enteras.

19.- Integración por fracciones parciales 
a) Son las que salen directamente por la defenicion de integral.
b)Resulta al elegir correctamente los valores de u y dv.
c)Se basa en realizar un cambio de variable adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple.
d)Se usa cuando el numerador y denominador son funciones racionales enteras.

20.- Integración inmediata 
a) Son las que salen directamente por la defenicion de integral.
b)Resulta al elegir correctamente los valores de u y dv.
c)Se basa en realizar un cambio de variable adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple.
d)Se usa cuando el numerador y denominador son funciones racionales enteras.

Respuestas correctas:

1.- a), 2.- d), 3.- c), 4.- b), 5.- a), 6.- b), 7.- c), 8.- a), 9.- a), 10.- c), 11.- a), 12.- a), 13.- a), 14.- c), 15.- c), 16.- b), 17.- c), 18.- b), 19.- d), 20.- a).